קלוד קליין נולד בשנת 1939 בדיז'ון, צרפת. בזמן מלחמת העולם השנייה נמלטה משפחתו לשווייץ, וחזרה לצרפת בתום המלחמה. בשנת 1957 החל קליין ללמוד משפטים ומדעי המדינה באוניברסיטת סטראסבור, שם השלים תואר ראשון ושני בשני החוגים. קליין כתב את הדוקטורט במשפטים באוניברסיטת סטראסבור, וסיים את לימודיו שם בהצטיינות בשנת 1965. בשנת 1968 עלה קליין לישראל ומונה למרצה בכיר בפקולטה למשפטים של האוניברסיטה העברית בירושלים. בשנת 1982 התמנה לפרופסור מן המניין בתחום המשפט הציבורי, ובין השנים 1981-1978 כיהן כדיקן הפקולטה למשפטים.
במסגרת תפקידיו באוניברסיטה העברית לימד קורסים בנושאי משפט חוקתי, ומשפט והיסטוריה.
פרופ׳ קליין פעיל בארגון הבינלאומי למשפט חוקתי, ומשנת 2006 מכהן כסגן נשיא הארגון. בעבר שימש גם כיושב ראש העמותה למשפט ציבורי בישראל.
